49^ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

• Α) Αρνητικές συνέπειες της έλλειψης

• Β) Σχετικά με την πληρότητα του λόγου

• Γ) Έλλειψη στα Μαθηματικά

• Δ) Η θέση των πλανητικών τροχιών στο διάστημα

• Ε) Πλανητική κατοικησιμότητα

• Ζ) Τροχιές πλανητών και δορυφόρων ηλιακού συστήματος                σελίδα 2

• Η) Μέτρηση γης στη Γεωγραφία

• Θ) Εφαπτομένη Έλλειψης και εφαρμογές

• Ι) Ο κύκλος και η έλλειψη στο σχέδιο

• Κ) Προοπτικό κύκλου

• Λ) Κύκλος και έλλειψη στη Δομή του ατόμου

Κ) Προοπτικό κύκλου

   Η προοπτική εικόνα ενός κύκλου είναι γενικά έλλειψη, αλλά αυτό εξαρτάται από τη θέση του παρατηρητή και του πίνακα. Ορίζουμε ένα επίπεδο παράλληλο στον πίνακα, που να περνά από το σημείο οράσεως. Η τομή του με το επίπεδο του εδάφους είναι η ευθεία γπ (σχ. 01)

(σχ. 01)

  Εάν η ευθεία γπ δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο, η προοπτική εικόνα του είναι έλλειψη. Εάν η ευθεία γπ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο (σχ. 02), είναι δηλαδή εφαπτόμενη στον κύκλο, τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα παραβολής.

(σχ. 02)

   Τέλος, αν η ευθεία γπ τέμνει τον κύκλο σε πάνω από ένα σημεία (σχ. 03), τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα ενός σκέλους υπερβολής.

(σχ. 03)

1.Προοπτικό κύκλου του επιπέδου e_1. Είτε εργαζόμαστε σε μετωπικό προοπτικό, είτε σε προοπτικό δύο σημείων φυγής Φ1 και Φ2, κατασκευάζουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο του κύκλου ΑΒΓ∆, του οποίου προσδιορίζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β)(Γ)(∆) (σχ. 04,05). Γράφουμε τις διαγώνιους (Α)(Γ) και (Β)(∆). Από την τομή των διαγωνίων ενώνουμε με τα σημεία φυγής (στο μετωπικό προοπτικό ενώνουμε με το Φο και φέρνουμε τη δεύτερη ευθεία παράλληλη στην γε).

σχ. 04

  Μ’ αυτό τον τρόπο ορίζουμε τα σημεία επαφής της έλλειψης στις πλευρές του περιγεγραμμένου προοπτικού του τετραγώνου ΑΒΓ∆. Τα τέσσερα αυτά σημεία επαφής δεν είναι γενικά αρκετά, ως εκ τούτου προσδιορίζουμε και τα σημεία τομής της έλλειψης με τις διαγώνιους (Α)(Γ) και (Β)(∆):

 στο προοπτικό δύο σημείων, όπου η (Α)(Β) δεν είναι παράλληλη στη γε, κατασκευάζουμε από το (Β) ευθεία παράλληλη στη γε, μέχρι να τμήσει την προέκταση της (Α)(∆) στο σημείο Σ (σχ. 04). Γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του Σ(Β) και διάμετρο Σ(Β). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45μοίρες με την Σ(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ2. στο μετωπικό προοπτικό, όπου η (Α)(Β) είναι ευθεία παράλληλη στη γε, γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο της και διάμετρο το μήκος της (Α)(Β)       (σχ. 05). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45μοίρες με την (Α)(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φο .

Γνωρίζοντας πλέον 8 σημεία (και στις δύο περιπτώσεις) της έλλειψης, η κατασκευή της γίνεται σχετικά εύκολα με γραφικό τρόπο.

σχ. 05

2. Προοπτικό κατακόρυφου κύκλου Η προβολή του κύκλου και του περιγεγραμμένου σ’ αυτόν τετραγώνου έχουν προβολή στο e₁ ένα ευθύγραμμο τμήμα, όπου τα σημεία Α, ∆ και Β, Γ ταυτίζονται (σχ. 06). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β) της κάτω πλευράς ΑΒ του περιγεγραμμένου τετραγώνου και στο σημείο 1 υψώνουμε κατά h=ΑΒ. Προσδιορίζουμε και τα σημεία (Γ) και (∆), χαράσσουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)(∆) και χρησιμοποιούμε την πλευρά (Α)(∆) ακριβώς όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα για να προσδιορίσουμε τα 8 σημεία από τα οποία διέρχεται η έλλειψη, η προοπτική εικόνα του κατακόρυφου κύκλου. Στην ειδική περίπτωση που ο κύκλος βρίσκεται σε μετωπικό επίπεδο, η προοπτική του εικόνα είναι κύκλος.

Σχ 06

3. Προοπτικό κύκλου σε τυχαίο επίπεδο Σ’ αυτή την περίπτωση το περιγεγραμμένο του κύκλου τετράγωνο προβάλλεται στο επίπεδο e1 στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α’Β’Γ’∆’ (σχ. 07). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα του ΑΒΓ∆ και προεκτείνουμε τις κεκλιμένες πλευρές (Α)(∆) και (Β)(Γ) μέχρι να τμήσουν την κατακόρυφη από το Φ1, προσδιορίζοντας έτσι το σημείο φυγής τους Φ. Γράφουμε τις διαγώνιους (Α)(Γ) και (Β)(∆) και ενώνουμε την τομή τους με τα Φ και Φ2. Από το σημείο (Α) φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη γε μέχρι να τμήσει την προέκταση της Φ1(Β) στο σημείο Ρ και κατασκευάζουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του (Α)Ρ και διάμετρο (Α)Ρ. Παρατηρούμε ότι η ευθεία που ενώνει το μέσο της (Α)Ρ με το Φ1 διέρχεται από το σημείο 1, το οποίο είναι το σημείο της (Α)(Β) όπου καταλήγει η προοπτική εικόνα της διαμέτρου του κύκλου από το Φ. Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45μοιρών με την (Α)Ρ και φέρνουμε κάθετες στην (Α)Ρ ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ1 και προσδιορίζουμε τα σημεία 2 και 3, τα οποία ενώνουμε με το Φ. Ορίζουμε μ’ αυτό τον τρόπο τα 8 βασικά σημεία της έλλειψης και τη σχεδιάζουμε γραφικά.

Σχ 08