49ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΑΡΧΙΚΗΤΕΥΧΟΣ 12ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ

Γ) Έλλειψη στα Μαθηματικά

Ορισμός Έλλειψης

  Έστω Ε' και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε' και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε' και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε'. Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως, με  και την απόσταση των εστιών Ε' και Ε με 2γ. H απόσταση Ε'ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης.

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό:

α) Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν

Εικόνα

β) Ισχύει      Εικόνα , δηλαδή Εικόνα.

Αν γ=0 , τότε τα σημεία Ε',συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο το Ε και ακτίνα α.

Εικόνα


  Για να βρούμε ένα σημείο της έλλειψης
C, εργαζόμαστε ως εξής:

  Παίρνουμε ένα τμήμα ΚΛ μήκους 2α και ένα οποιοδήποτε σημείο του Σ. Με κέντρα τα Ε' και Ε και ακτίνες ρ'= (ΚΣ) και ρ= (ΛΣ) , αντιστοίχως, γράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Μ και M' . Τα σημεία Μ και M' είναι σημεία της έλλειψης, γιατί ισχύει  

Εικόνα

Εικόνα

 

  Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε οσαδήποτε σημεία της έλλειψης.

Πρακτικά μπορούμε να σχεδιάσουμε την έλλειψη ως εξής: Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους 2α και στερεώνουμε τα άκρα του στις εστίες Ε' και Ε. Αν τώρα με ένα μολύβι διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε αυτό, κατά την κίνησή του, θα διαγράψει την έλλειψη.

Εξίσωση Έλλειψης

Εικόνα

• Έστω μια έλλειψη C με εστίες Ε' και Ε. Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων Oxy με άξονα των x την ευθεία Ε'και άξονα των y τη μεσοκάθετο του Ε'.

Αν M(x,y) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε θα ισχύει

Εικόνα

Επειδή (E'E) = 2γ , οι εστίες Ε' και Ε θα έχουν συντεταγμένες (-γ , 0) και (γ , 0) αντιστοίχως.

Αποδεικνύεται  ότι η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E'( -γ , 0), Ε(γ , 0) , και σταθερό άθροισμα 2α είναι

Εικόνα

Εικόνα

• Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων Oxy με άξονα των x τη μεσοκάθετο του E'και άξονα των y την ευθεία E'και εργαστούμε όπως πριν, θα βρούμε ότι η εξίσωση της έλλειψης C είναι

Εικόνα

Ιδιότητες Έλλειψης

Έστω μια έλλειψη

Εικόνα

   • Αν M1(x1,y1) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M2(x1, -y1),        M3( -x1,y1) και M4( -x1, -y1) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της.

Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω έλλειψη έχει τους άξονες x'και y'y, άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας. Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E',της έλλειψης και η μεσοκάθετος του E'είναι άξονες συμμετρίας της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του E'είναι κέντρο συμμετρίας της.

Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης.

  • Από την εξίσωση της έλλειψης για y=0 βρίσκουμε Εικόνα, ενώ για x=0 βρίσκουμε Εικόνα. Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξονα x'στα σημεία         A'(-α , 0) και Α(α , 0) , ενώ τον άξονα y'στα σημεία Β'(0,-β) και B(0,β). Τα σημεία A',A,B',λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα A'και B'B, τα οποία έχουν μήκη (A'A) = 2α και (B'B) = 2β, λέγονται μεγάλος άξονας και μικρός άξονας αντιστοίχως. Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεία M1 και M4 της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης.

Αποδεικνύεται ότι :

Εικόνα

δηλαδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μικρό άξονα και μικρότερη ή ίση από το μεγάλο άξονα της έλλειψης.

    • Τέλος, από την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε

 

Εικόνα

 

Εικόνα

Άρα, η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες

                                                  x= -α, x και y= -β, y= β.

 

Εκκεντρότητα Έλλειψης

Μια παράμετρος που καθορίζει τη μορφή της έλλειψης είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψηςΕικόνα και τη συμβολίζουμε με ε, το λόγο

Εικόνα

 οπότε

Εικόνα

και άρα

Εικόνα

  Επομένως, όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα τόσο μικραίνει ο λόγος β/α και κατά συνέπεια τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη (Σχ. α).

  Όταν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος β/α τείνει στο 1 και επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. Όταν, όμως, το ε τείνει στη μονάδα, τότε ο λόγος β/α τείνει στο 0 και επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα.

Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο β/α, λέγονται όμοιες (Σχ. β).

Εικόνα

  Οι πλανήτες του Ηλιακού Συστήματος κινούνται γύρω από τον Ήλιο ακολουθώντας ελλειπτικά μονοπάτια, που επίσης καλούνται τροχιές.  Όλοι οι πλανήτες κινούνται προς την ίδια διεύθυνση, αλλά με διαφορετικές ταχύτητες, με τρόπο ώστε να καλύπτουν ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους.

   Κατά συνέπεια όσο μακρύτερα βρίσκονται οι πλανήτες από τον Ήλιο, τόσο πιο αργά κινούνται.

  Τα μονοπάτια των ουράνιων σωμάτων είναι κωνικές καμπύλες : ελλείψεις , παραβολές και υπερβολές.

  Οι ελλειπτικές τροχιές έχουν τον ήλιο σε μια από τις εστίες,, το πλησιέστερο στον Ήλιο σημείο της έλλειψης λέγεται περιήλιο και το πιο απομακρυσμένο λέγεται αφήλιο. Τα περισσότερα από τα σώματα του Ηλιακού Συστήματος (πλανήτες, κομήτες, αστεροειδείς), διαγράφουν ελλειπτικές τροχιές, με πολύ διαφορετικές εκκεντρότητες.

  Αν η απόσταση μεταξύ του πλανήτη όταν βρίσκεται στο περιήλιο και του Ήλιου είναι παρόμοια με την απόσταση του πλανήτη στο αφήλιο και του Ήλιου η έλλειψη έχει μικρή εκκεντρικότητα: η τροχιά είναι σχεδόν κυκλική. Οι πλανήτες ανήκουν σ’ αυτή την ομάδα.

  Από την άλλη πλευρά, εάν η απόσταση μεταξύ του πλανήτη στο περιήλιο και του Ηλίου  είναι πολύ μικρότερη από την απόσταση στο αφήλιο, η έλλειψη έχει πολύ μικρή εκκεντρικότητα: η τροχιά είναι σχεδόν παραβολή. Οι κομήτες και μερικά μικρότερα σώματα του Ηλιακού συστήματος έχουν τροχιές αυτού του τύπου.

  Τα σώματα που διαγράφουν  υπερβολικές τροχιές δεν παγιδεύονται στη βαρύτητα του Ήλιου και μπορούν να δραπετεύσουν από το Ηλιακό σύστημα. Επειδή το Ηλιακό σύστημα. είναι αρκετά παλαιό, το πλήθος των σωμάτων με υπερβολικές τροχιές είναι πολύ μικρό: μερικά χαμένα θραύσματα βράχων από συγκρούσεις μεταξύ σωμάτων του Ηλιακού συστήματος, (π.χ. σε ροή μετεωριτών ή στη ζώνη αστεροειδών ) και τις διαστημικές συσκευές εξερεύνησης που έχουν σχεδιαστεί για αυτό το σκοπό (για παράδειγμα οι εξερευνητές Pioneer και Voyages της ΝΑΣΑ ).